Description

Ce cours couvre les bases de l'algèbre linéaire. Les étudiants apprendront à manier les matrices (notamment le produit matriciel et les opérations de l'algorithme du pivot de Gauss), et à les utiliser dans différents contextes : résolutions de systèmes, coordonnées de vecteurs , applications linéaires.

Syllabus

- Matrices : calcul matriciel (somme, multiplication par un scalaire, produit matriciel, puissances d'une matrice carrée,  transposée; trace d'une matrice), matrice échelonnée, rang, calcul d'inverse
- Systèmes d'équations linéaires : résolution  par  la méthode du pivot de Gauss (opérations élémentaires sur les lignes), rang du système et ensemble des solutions, systèmes d'équations linéaires à paramètre
- Déterminants: Méthodes de calcul (développement par rapport à une ligne ou colonne, utilisation de l'échelonnement, formule de Sarrus); déterminant du produit, de la transposée, de l'inverse d'une matrice carrée, lien avec l'inversibilité de la matrice. Formule de l'inverse par la transposée de la comatrice.
- Espaces vectoriels: Définition d'un espace vectoriel sur R ou C, exemples fondamentaux (R^n, C^n, matrices, polynômes, fonctions). Interprétation géométrique pour R^2 et R^3.
- Familles de vecteurs libres et génératrices, bases d'un espace ou sous-espace vectoriel, dimension.
- Applications linéaires: Définition et exemples, matrice représentative, matrices inversibles et applications linéaires bijectives. Exemples des homothéties, symétries, projections, rotations.